7.1空间几何体结构特征及计算
【题型解读】
【知识必备】
1.空间几何体的结构特征
多面体
棱柱
棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是平行且全等的多边形
棱锥
棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形
棱台
棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是平行且相似的多边形
旋转体
圆柱
圆柱可由矩形绕其任意一边旋转得到
圆锥
圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到
圆台
圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上、下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到
球
球可以由半圆或圆绕直径旋转得到
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
3.空间几何体的表面积与体积公式
名称
几何体
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝S底·h
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝eq\f(1,3)S底·h
台体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h
球
S＝4πR2
V＝eq\f(4,3)πR3
【题型精讲】
【题型一简单几何体的概念】
例1（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题:
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;
②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥;
③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;
④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.
其中正确命题的个数是（）
A.0 B.1 C.2 D.3
例2（2022·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习）碳60（）是一种非金属单质，它是由60个碳原子构成的分子，形似足球，又称为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共32个面，且满足：顶点数－棱数＋面数＝2．则其六元环的个数为__________.
【跟踪精练】
1.（2022·青岛高三月考）给出下列命题：
①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；
②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；
③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
④存在每个面都是直角三角形的四面体．
其中正确命题的序号是________．
2.（2022·全国·高三专题练习）莱昂哈德·欧拉，瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，他的研究论著几乎涉及到所有数学分支，有许多公式?定理?解法?函数?方程?常数等是以欧拉名字命名的.欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V?棱数E?面数F之间总满足数量关系，此式称为欧拉公式，已知某凸32面体，12个面是五边形，20个面是六边形，则该32面体的棱数为___________；顶点的个数为___________.
【题型二简单几何体的表面积】
必备技巧空间几何体表面积的求法
①旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．
②多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．
例3（2022·全国高三其他模拟）如图所示的扇形是某个圆锥的侧面展开图，已知扇形所在圆的半径，扇形弧长，则该圆锥的表面积为（）
A． B． C． D．
例4（2022·山东日照高三模拟）某正四棱锥的侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的侧面与底面的面积之比为（???????）
A． B． C． D．
例5（2022·天津·南开中学模拟预测）已知圆锥的母线长与底面直径都等于2，一个圆柱内接于这个圆锥，即圆柱的上底面是圆锥的一个截面，下底面在圆锥的底面内，则圆柱侧面积的最大值为(???????)
A． B． C． D．3
例6（2022·全国·高三专题练习）（多选）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则（???????）
A．该圆台的高为
B．该圆台轴截面面积为
C．该圆台的体积为
D．一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为
【跟踪精练】
1.（全国1卷）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）
A. B. C. D.
2.（2022·全国高三模拟）已知正四面体可以在圆锥内绕自身的中心任意旋转，若该正四面体棱长的最大值为，且圆锥的高为，则圆锥的表面积为（）
A． B． C． D．
3.（2022·浙江高三模拟）已知圆柱的体积为