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高三数学考试
本试卷满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则右图中阴影部分表示的集合是（）
A． B． C． D．
2．若复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．公差不为零的等差数列的前项和为，若，则（）
A．4 B．6 C．7 D．9
4．自“ChatGPT”横空出世，全球科技企业掀起一场研发AI大模型的热潮，随着AI算力等硬件底座逐步搭建完善，AI大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用．Sigmoid函数和Tanh函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网络的激活函数．Tanh函数的解析式为，经过某次测试得知，则当把变量减半时，（）
A． B．3 C．1 D．或3
5．已知抛物线的焦点为，斜率为的直线经过点与抛物线交于两点，为坐标原点，若的面积为，则（）
A．1 B． C． D．2
6．对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力．如图，在等边中，，以三条边为直径向外作三个半圆，是三个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（）
A． B． C．1 D．
7．《几何补编》是清代梅文鼎撰算书，其中卷一就给出了正四面体，正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种正多面体的体积求法．若正四面体的棱长为，为棱上的动点，则当三棱锥的外接球的体积最小时，三棱锥的体积为（）
A． B． C． D．
8．已知函数的值域与函数的值域相同，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某社区有甲、乙两队社区服务小组，其中甲队有3位男士、2位女士，乙队有2位男士、3位女士．现从甲队中随机抽取一人派往乙队，分别以事件和表示从甲队中随机抽取一人抽到的是男士和女士；以事件表示从乙队（甲队已经抽取一人派往乙队）中随机抽取一人抽到的是男士，则（）
A． B． C． D．
10．已知函数，则下列结论正确的是（）
A．对任意实数，都有，则
B．若，函数在上是单调递增函数，则
C．若，函数在上的最大值为．最小值为，则的最小值为
D．若，函数在上有最小值，则实数的取值可以为
11．已知椭圆的上顶点、左顶点为为椭圆上异于点的两个不同点，则下列结论正确的是（）
A．若直线的斜率之和为，则直线恒过定点
B．若直线的斜率之积为，则直线恒过定点
C．若直线的斜率之和为，则直线恒过定点
D．若直线的斜率之积为．则直线但过定点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知的二项展开式中常数项为60，则______．
13．光从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角的正弦之比叫作介质2相对介质1的折射率．如图，一个折射率为的圆柱形材料，其横截面圆心在坐标原点，一束光以的入射角从空气中射入点，该光线再次返回空气中时，其所在直线的方程为______．
14．若不等式，对于恒成立，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知数列满足，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：．
16．（本小题满分15分）
双十一网购狂欢节源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的促销活动，当时参与的商家数量和促销力度均有限，但营业额远超预想的效果，于是11月11日成为天猫举办大规模促销活动的固定日期．某工厂现有工人50人，将他们的年产量进行统计，将所得数据按照，，，分成4组，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求的值及年产量的第75百分位数；
（2）假设年产量在中的工人中有名女性，从该区间的人中随机抽取10人进行奖励，其中女性恰有人，记，则当为何值时，取得最大值．
17．（本小题满分15分）
如图，在直三棱柱中，，，分别为，的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线