蒙阴一中2024-2025学年高三下学期第三次模拟考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出函数的定义域化简集合，再利用交集的定义求解即可.
【详解】依题意，，函数有意义，则，即，
所以.
故选：B
2.已知复数在复平面内所对应的点位于第一象限，且，则复数在复平面内所对应的点位于（）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】先根据题意设复数的代数形式，再由条件求得，进而得到其对应点的坐标，从而判断得解.
【详解】因为复数在复平面内所对应的点位于第一象限，
则设，
因为，所以，
所以复数在复平面内所对应的点为，
又，所以，所以该点位于第三象限.
故选：C.
3.函数在区间上是减函数，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用复合函数的单调性和函数的定义域求解即可.
【详解】函数，故，且为减函数，
若，则在为减函数，则函数为增函数，故舍去；
若，则为增函数，因为函数在区间上是减函数，
故.
故的取值范围是.
故选：D.
4.已知的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数成等差数列，则（）
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】C
【解析】
【分析】写出二项式系数再利用等差中项建立方程，求解即得.
【详解】已知的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数为，
依题意成等差数列，故，得到：，
化简得，即：，
解得：或（舍去）
故选：C
5.已知向量满足与垂直，则的最小值为（）
A. B. C.1 D.3
【答案】C
【解析】
【分析】向量垂直则数量积为零，由此求出，求，利用平方法转化为数量积进行计算．
【详解】由与垂直，得，则，
所以1，
所以当时，的最小值为
故选：C
6.古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示．用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为4，M为母线PB的中点，平面与底面的交线，则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为（）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】令双曲线为，根据已知建立合适坐标系，并求出双曲线参数，进而得渐近线方程，利用二倍角正切公式求得夹角正切值，即可得其余弦值.
【详解】如下图建系，令双曲线为，且，则，，
如图，，，则，故，
将代入，得，可得，故渐近线为，
若它们的夹角为，且，则，故.
故选：D
7.已知正方体的棱长为，为的中点，为棱上异于端点的动点，若平面截该正方体所得的截面为五边形，则线段的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合正方体的几何结构特征，得出当为棱上异于端点的动点，截面为四边形，点只能在线段上，求得，线段的取值范围，得到答案.
【详解】在正方体中，平面平面，
因为平面，平面，平面平面，
则平面与平面的交线过点，且与直线平行，与直线相交，
设交点为，如图所示，
又因为平面，平面，
即分别为，与平面所成的角，
因为，则，且有，当与重合时，平面截该正方体所得的截面为四边形，此时，即为棱中点；
当点由点向点移动过程中，逐渐减小，点由点向点方向移动；
当点为线段上任意一点时，平面只与该正方体的4个表而有交线，即可用成四边形；
当点在线段延长线上时，直线必与棱交于除点外的点，
又点与不重合，此时，平面与该正方体的5个表面有交线，截面为五边形，
如图所示．
因此．当为棱上异于端点的动点，截面为四边形，点只能在线段（除点外）上，即，可得，则，
所以线段的取值范围是，
所以若平面截该正方体的截面为五边形，线段的取值范围是.
故选：B．
【点睛】知识方法：对于空间共面、共线问题，以及几何体的截面问题的策略：
1、正面共面的方法：一是先确定一个平面，然后再证明其余的线（或点）在这个平面内；二是证明两个平面重合；
2、证明共线的方法：一是先由两个点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；二是直接证明这些点都在同一条特定直线上；
3、空间几何体中截面问题：一是熟记特殊几何体（正方体，正四面体等）中的特殊截面的形状与计算；二是结合平面的基本性质，以及空间中的平行关系，以及平面的基本性质，找全空间几何体的截面问题，并作出计算；
4、空间几何体中的动点轨迹等问题：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐