教学设计
名称
函数的应用——摩天轮问题
知识点来源
?学科：数学?年级：高一
?教材版本：人教A版必修一?所属章节：第五章第6节
设计思路
高考改革之后，题型越来越偏向于实际应用，在三角函数这一章节，匀速圆周运动例如钟表，摩天轮模型是非常重要的，为了帮助学生理解三角函数的概念和性质，增强学生的应用意识。故此教学设计以摩天轮转动为引入，问题驱动式提出问题，引导学生思考可以利用哪个函数刻画座舱距离地面的高度与时间的关系，通过数学建模，信息技术呈现效果，构建函数模型。然后探讨各个变量的几何意义，得出解析式。
最后进行课堂练习，根据各个参数的几何意义，对研究的问题得出函数表达式，经过计算，得出结论。
教学设计
内容
教学目的
1.学生能够理解摩天轮运动中涉及的三角函数关系，掌握利用三角函数解决与摩天轮相关的实际问题的方法。
2.通过对摩天轮问题的分析和解决，培养学生的数学建模能力和逻辑思维能力。
教学重点难点
重点：建立摩天轮问题中的三角函数模型，运用三角函数知识求解实际问题。
难点：理解摩天轮运动中角度与时间的关系，准确分析问题情境，选择合适的三角函数进行求解。
教学过程
一、创设情境，提出问题
摩天轮是游乐场里一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，深受人民喜爱。
问题1：假定在摩天轮转动的情况下，摩天轮上的座舱都作匀速圆周运动。如果将这个摩天轮抽象成一个圆，座舱抽象成一个质点，你能用一个合适的函数模型来刻画座舱距离地面的相对高度与时间的关系吗？
师生活动：教师利用多媒体展示摩天轮运动的真实情境，学生进行观察、思考，教师鼓励学生自主探究。采用问题驱动式方式进行引导，让学生亲身经历将周而复始的圆周运动抽象为数学模型的过程，提倡小组讨论，积极发言。教师最后利用信息技术展示动画，验证学生的猜想是否准确。
预设答案：因摩天轮上的座舱运动具有周期性，可以考虑利用三角函数模型刻画它的运动规律。
【设计意图】通过摩天轮模型引入，表示其上质点的匀速圆周运动，引出本节的核心内容。让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型，并加以解决与应用的过程，培养学生应用数学的意识和能力，提高学生的数学建模素养。
二、抽象模型，探索新知
问题2：摩天轮的座舱运动周而复始，具有周期性，可以考虑用三角函数模型去刻画它的运动规律，如果将摩天轮抽象为圆，座舱抽象为圆上的点，经过时后，座舱距离地面的高度与哪些量有关？它们之间有怎样的关系呢？
师生活动：学生经过讨论，分析出问题中变量和的关系—摩天轮转轮的中心到地面的距离，摩天轮的半径，座舱转动的角速度，座舱的初始位置及其对应的初始角；再引导学生寻求变量与之间的等量关系。
如图若以为原点，以与地面平行的直线为轴,建立直角坐标系。设时，座舱位于，以为始边，为终边的角为φ，经过后运动到点。于是以为始边，为终边的角为ωt+φ。
让学生总结得出函数关系，教师提问。
学生总结，建立函数模型y=rsin(ωt+φ),所座舱距离地面的高度与时间的关系是H=rsin(ωt+φ)+?。
函数H=rsin(ωt+φ)+?就是要建立的数学模型，只要将它的性质研究清楚，就能把握座舱的运动规律了。由于为常量，我们可以只研究函数y=rsin(ωt+φ)的性质
可以总结出：对于函数y=Asin(ωx
平移量与摩天轮的圆心高度密切相关；
角速度与摩天轮的周期密切相关；
初相与摩天轮上的点的初始位置密切相关。
【设计意图】恰当选择函数模型是解决问题的关键，对问题作出合理的数学解释，进而把实际问题转化为数学问题。如果学生选择了不同的函数模型，教师应组织学生进行交流，或让学生根据自己选择的模型进行求解，然后再根据所得结果与实际情况的差异进行评价。其中这些量对于实际问题有特殊的含义，鼓励学生参透其本质。
三、巩固练习，概念深化
问题3：摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色。某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，设置有个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要.
(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；
(2)求游客甲在开始转动后距离地面的高度。
师生活动:引导学生思考摩天轮上的座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速旋转。在旋转过程中，游客距离地面的高度H呈现周而复始的变化，因此可以考虑用三角函数来刻画。
解:如图所示，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系。
设时，游客甲位于点，以为终边的角为;根据摩天轮转一周大约需要min，可知座舱转动